数学ガール／ガロア理論 小说

現代数学に大きな影響を与えたガロア理論とは？ 「僕」と4人の少女が軽やかに解き明かす、魅惑の数学物語。エヴァリスト・ガロアに捧ぐ。

今回のテーマは、ガロアの群論です。
ガロアは、1811年にフランスで生まれ、十代で後世に残る数学上の業績を打ち立てるものの、決闘によりわずか20歳でその生涯を終えた天才数学者です。
数学者の仕事としては、彼が創始した群論という概念から、アーベルによる「五次以上の方程式には一般的な代数的解の公式がない」という定理（アーベル-ルフィニの定理）の証明を大幅に簡略化するとともに、一般の方程式がどんな場合に、代数的な解を持つかを明らかにしています。
このように代数学で重要な役割を果たすガロア理論は、現代数学の扉を開くとともに、20世紀、21世紀科学のあらゆる分野に絶大な影響を与えています。
本書では、「僕」と4人の少女が、ガロア理論の基礎を読み解いていきます。

【目次】
第1章 あなたのあいするあみだくじ
第2章 眠りの森の2 次方程式
第3章 形を探る
第4章 あなたとくびきをともにして
第5章 角の3等分
第6章 天空を支えるもの
第7章 ラグランジュ・リゾルベントの秘密
第8章 塔を建てる
第9章 気持ちの形
第10章 ガロア理論
参考文献

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目录

序言
第 1章　有趣的鬼脚图 1
1．1　 交错的鬼脚图 1
1．2　 溢出的鬼脚图 5
1．2．1　计算数量 5
1．2．2　尤里的疑问 7
1．3　 理所当然的鬼脚图 8
1．3．1　冰沙 8
1．3．2　无可替代之物 8
1．3．3　可以画出鬼脚图所有的排列模式吗？ 9
1．4　 有趣的鬼脚图 14
1．4．1　3 条竖线 14
1．4．2　鬼脚图的2 次方 16
1．4．3　鬼脚图的3 次方 18
1．4．4　绘图 20
1．4．5　解开深层谜题 23
第 2章　睡美人的二次方程式 25
2．1　 2次方根 25
2．1．1　尤里 25
2．1．2　负数×负数 26

2．1．3　复数平面 27
2．2　 求根公式 29
2．2．1　二次方程式 29
2．2．2　方程式与多项式 31
2．2．3　推导二次方程式的求根公式 32
2．2．4　传达心情 36
2．3　 解与系数的关系 37
2．3．1　泰朵拉 37
2．3．2　解与系数的关系 37
2．3．3　整理思绪 41
2．4　 对称多项式与域的观点 42
2．4．1　米尔嘉 42
2．4．2　再探解与系数的关系 42
2．4．3　再探求根公式 49
2．4．4　回家的路上 56
第3章　探索形式 61
3．1　 正三角形 61
3．1．1　医院 61
3．1．2　再次发烧 70
3．1．3　梦的结局 71
3．2　 对称群的形式 73
3．2．1　阅览室 73
3．2．2　群公理 74
3．2．3　公理与定义 83
3．3　 循环群的形式 86
3．3．1　前往“加库拉” 86
3．3．2　结构 86
3．3．3　子群 87
3．3．4　基数 91
3．3．5　循环群 92
3．3．6　阿贝尔群 95
第4章　与你共轭 101
4．1　 阅览室 101
4．1．1　泰朵拉 101
4．1．2　因式分解 102
4．1．3　数的范围 104
4．1．4　多项式的除法 106
4．1．5　1 的12 次方根 108
4．1．6　正n边形 110
4．1．7　三角函数 111
4．1．8　出路 114
4．2　 循环群 115
4．2．1　米尔嘉 115
4．2．2　12 个复数 116
4．2．3　制作表格 118
4．2．4　共有顶点的正多边形 119
4．2．5　1 的原始12 次方根 122
4．2．6　分圆多项式 124
4．2．7　分圆方程式 130
4．2．8　与你共轭 132
4．2．9　循环群与生成元 133
4．3　 模拟考试 136
第5章　角的三等分 139
5．1　 图的世界 139
5．1．1　尤里 139
5．1．2　角的三等分问题 140
5．1．3　对于“角的三等分”问题的误解 144
5．1．4　尺子与圆规 145
5．1．5　可以作图的意义 147
5．2　 数的世界 148
5．2．1　具体例子 148
5．2．2　通过作图实现加减乘除运算 151
5．2．3　通过作图开根号 154
5．3　 三角函数的世界 158
5．3．1　双仓图书馆 158
5．3．2　理纱 159
5．3．3　离别之际 163
5．4　 方程式的世界 164
5．4．1　看穿结构 164
5．4．2　用有理数练习 169
5．4．3　一步的重复 172
5．4．4　能进入下一个步骤吗？ 173
5．4．5　发现了吗？ 176
5．4．6　预测与定理 178
5．4．7　出路在哪里？ 180
第6章　支撑天空之物 187
6．1　 维度 187
6．1．1　庙会 187
6．1．2　四维世界 188
6．1．3　章鱼烧 190
6．1．4　支撑之物 192
6．2　 线性空间 194
6．2．1　阅览室 194
6．2．2　坐标平面 196
6．2．3　线性空间 199
6．2．4　R上的线性空间C 202
6．2．5　Q上的线性空间Q(√2) 203
6．2．6　扩张的程度 208
6．3　 线性独立 212
6．3．1　线性独立 212
6．3．2　维度的不变性 216
6．3．3　扩张次数 217
第7章　拉格朗日预解式的秘密 221
7．1　 三次方程式的求根公式 221
7．1．1　泰朵拉 221
7．1．2　红色卡片：契尔恩豪森转换 222
7．1．3　橙色卡片：解与系数的关系 225
7．1．4　黄色卡片：拉格朗日预解式 227
7．1．5　绿色卡片：3 次方的和 231
7．1．6　蓝色卡片：3 次方的积 236
7．1．7　靛色的卡片：从系数到解 238
7．1．8　紫色卡片：三次方程式的求根公式 243
7．1．9　描绘“旅行地图” 244
7．2　 拉格朗日预解式 248
7．2．1　米尔嘉 248
7．2．2　拉格朗日预解式的性质 253
7．2．3　能应用于其他例子吗？ 257
7．3　 二次方程式的求根公式 258
7．3．1　二次方程式的拉格朗日预解式 258
7．3．2　判别式 261
7．4　 五次方程式的求根公式 263
7．4．1　五次方程式是什么 263
7．4．2　“五”的意义 264
第8章　建造塔 267
8．1　 音乐 267
8．1．1　咖啡厅 267
8．1．2　邂逅 269
8．2　 讲课 270
8．2．1　阅览室 270
8．2．2　扩张次数 270
8．2．3　扩域与子域 271
8．2．4　Q(√2)/Q 273
8．2．5　出题 275
8．2．6　Q(√2，√3)/Q 276
8．2．7　扩张次数的积 279
8．2．8　(Q(√2+√3)/Q) 282
8．2．9　*小多项式 284
8．2．10 新发现？ 288
8．3　 信 293
8．3．1　归途 293
8．3．2　家 294
8．3．3　信 295
8．3．4　规矩数 295
8．3．5　晚餐 297
8．3．6　朝着方程式的可解性前进 298
8．3．7　*小分裂域 300
8．3．8　正规扩张 300
8．3．9　面对真实的对象 303
第9章　心情的形式 307
9．1　 对称群S3 的形式 307
9．1．1　双仓图书馆 307
9．1．2　类别 313
9．1．3　陪集 317
9．1．4　整齐的形式 319
9．1．5　制作群 322
9．2　 写法的形式 329
9．2．1　Oxygen 329
9．2．2　置换的写法 330
9．2．3　拉格朗日定理 332
9．2．4　正规子群的写法 337
9．3　 部分的形式 337
9．3．1　孤零零的 2 337
9．3．2　探索结构 338
9．3．3　伽罗瓦的正规分解 339
9．3．4　进一步除以C3 340
9．3．5　除法与同等看待 344
9．4　 对称群S4 的形式 348
9．5　 心情的形式 351
9．5．1　Iodine 351
9．5．2　熄灯时间 352
第 10章 伽罗瓦理论 355
10．1　 伽罗瓦节 355
10．1．1 简略年表 355
10．1．2 第 一论文 358
10．2　 定义 361
10．2．1 定义（可约与既约） 361
10．2．2 定义（置换群） 364
10．2．3 两个世界 366
10．3　 引理 367
10．3．1 引理1（既约多项式的性质） 367
10．3．2 引理2（用根制作的V） 370
10．3．3 引理3（用V 表示根） 372
10．3．4 引理4 （V 的共轭） 374
10．4　 定理 378
10．4．1 定理1（“方程式的伽罗瓦群”的定义） 378
10．4．2 方程式x2 3x + 2 = 0的伽罗瓦群 380
10．4．3 方程式ax2 + bx + c = 0的伽罗瓦群 382
10．4．4 伽罗瓦群的制作方法 387
10．4．5 方程式x3 2x = 0的伽罗瓦群 390
10．4．6 定理2（缩小方程式的“伽罗瓦群”） 394
10．4．7 伽罗瓦的错误 398
10．4．8 定理3（添加辅助方程式的所有的根） 399
10．4．9 重复缩小 401
10．4．10 定理4（缩小的伽罗瓦群的性质） 403
10．5　 定理5（以代数方式解方程式的充分必要条件） 404
10．5．1 伽罗瓦提出的问题 404
10．5．2 何谓“以代数方式解方程式” 407
10．5．3 泰朵拉的问题 408
10．5．4　p次方根的添加 409
10．5．5　伽罗瓦的添加元素 413
10．5．6　手忙脚乱的尤里 418
10．6　 两座塔 418
10．6．1　三次方程式的一般形式 418
10．6．2　四次方程式的一般形式 420
10．6．3　二次方程式的一般形式 424
10．6．4　五次方程式不存在求根公式 426
10．7　 夏天结束 428
10．7．1　伽罗瓦理论的基本定理 428
10．7．2　展览 432
10．7．3　夜晚的Oxygen 432
10．7．4　无可替代之物 434
尾声 437
后记 444
参考文献和导读 447