靠谱人生茶话会#1 - 2023-4-1 20:22
冷冻水产鉴定员
本帖是基于这就是该放手去做的理由！中所提出的“问题”的随机模拟。此“问题”由@aquarium使用中文日常语言提出，由@kj6w使用包含了统计学相关符号的中文语言解释。我在本帖中将展示我对此问题的随机模拟检验，问题完全基于后者的解释，因为前者我有些难以理解。
叠甲：
做的过程中稍微搬了一下家有点累，也懒得仔细写过程了，很多地方其实写的并不严谨。就当图一乐哈。
代码有错误，懒得改了。
下面的原结论是推翻了猜想，但我又想了一下不能这么说。最终结论应该是给定N为1000，不等式左侧的模拟值大约为1/2，不能说对于所有自然数N，左侧的值一定和1/2有什么关系。懒得继续想了，抛砖引玉求大佬接手吧。
我又悟了，原来的代码虽然逻辑有错误，但相当于在少套了一层P[...]>1/2的情况下，算出了N=1000、sample size=1000时，不等式左侧的一次realization小于了1/2。如果我们接受1000的sample size能给出足够好的approximation的话，这个counter-example是推翻了猜想。
证明或反驳此猜想的解析推导留做习题。
以下是随机模拟检验过程：
—————————————————————————————————————————————
[8 Apr 2023 (BST) Update]
又忍不住根据“看动画好累”10楼的说法更新了一下。结论是N=3时，不等式左侧蒙特卡洛模拟值小于1/2。猜想不成立。
叠甲：
做的过程中稍微搬了一下家有点累，也懒得仔细写过程了，很多地方其实写的并不严谨。就当图一乐哈。
代码有错误，懒得改了。
下面的原结论是推翻了猜想，但我又想了一下不能这么说。最终结论应该是给定N为1000，不等式左侧的模拟值大约为1/2，不能说对于所有自然数N，左侧的值一定和1/2有什么关系。懒得继续想了，抛砖引玉求大佬接手吧。
我又悟了，原来的代码虽然逻辑有错误，但相当于在少套了一层P[...]>1/2的情况下，算出了N=1000、sample size=1000时，不等式左侧的一次realization小于了1/2。如果我们接受1000的sample size能给出足够好的approximation的话，这个counter-example是推翻了猜想。
证明或反驳此猜想的解析推导留做习题。
以下是随机模拟检验过程：
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[8 Apr 2023 (BST) Update]
又忍不住根据“看动画好累”10楼的说法更新了一下。结论是N=3时，不等式左侧蒙特卡洛模拟值小于1/2。猜想不成立。
是我不学无术
当q=1，q>0.5=1;当q=0,q>0.5=0.
我实验验证是成立的。
那么你做的其实就把最外层的概率脱掉了，也就是计算了P(S_N>=E(S_N))。
N=1 P=1
N=2 P=2-2ln2
N=3 P≈0.43
N=4 P≈0.56
（睡了，我是fw
然后proof by Wikipedia，如果𝑝∈ℚ那么binomial distribution的median是unique的，也就是说对于任何𝑛，median都是一样的。那么考虑𝑛 = 1的情况，很明显𝑝∈(0.5, 1)时𝑃(𝑆_𝑛 > 𝑛𝑝) = 𝑃(𝑆_𝑛 = 1) = 𝑝 > 0.5 > 𝑃(𝑆_𝑛 < 𝑛𝑝) = 𝑃(𝑆_𝑛 = 0)，如果Wikipedia上的结论为真那么这对于所有𝑛也都是成立的。
在加上@kj6w (怎么at不了)的对于np为0.5整数倍时也成立的结论，至少所有的有理数𝑝都解决了
无理数就没法了，想用Monte Carlo都挺难（除非用符号计算？）。